Question

（2013•丹东一模）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），点D是抛物线的顶点，直线m经过B、C两点．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标．
（2）若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点G，设E点的坐标为（x，y），问EG是否存在最大值？如果存在，求出E点坐标及这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（3）若P点是直线BC上的一个动点，且S_△ABP：S_△ACP=1：2，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而利用配方法求出顶点坐标；
（2）首先表示出E，G点坐标，进而得出直线EG的解析式，进而求出最值以及E点坐标；
（3）利用S_△ABP：S_△ACP=1：2，则当P在线段BC上时，2BP=CP，当P在射线BC上时，PC=2BP，进而得出答案．

解答：解；（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴函数关系式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为：（1，4）；

（2）设直线BC的函数关系是y=kx+z，
根据题意得出：

3k+z=0 z=3

，
解得：

k=-1 z=3

，
∴直线BC的函数关系是：y=-x+3，
设E（x，-x²+2x+3），则G（x，-x+3），
∴EG=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=

3

2

时，EG有最大值，最大值为

9

4

，
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=-

9

4

+

3

2

×2+3=

15

4

，
∴E点坐标为：（

3

2

，

15

4

）；

（3）根据题意得出：∵S_△ABP：S_△ACP=1：2，
∴当P在线段BC上时，2BP=CP，
∴此时P点横坐标为：2，代入y=-x+3，
∴纵坐标为：1，
此时P点坐标为；（2，1）
同理可得出：当P在射线BC上时，PC=2BP，
此时P点横坐标为：6，则纵坐标为：-3，
此时P点坐标为；（6，-3）
综上所述：P点坐标为；（2，1）或（6，-3）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和二次函数最值求法等知识，利用数形结合得出P点位置是解题关键．