题目内容

(1)△ABC的高AD、BE相交于点H,AD的延长线交其外接圆于点G(如图).试说明为什么△BDH≌△BDG.

(2)在(1)的条件下,若AB=AC(如图),试判断四边形BGCH的形状,并说明理由.

(3)如果△ABC的高AD、BE所在直线相交于圆外的点H时(如图),仍然设AB=AC,那么(2)中的结论仍然成立吗?为什么?

答案:
解析:

  [答案](1)由已知条件知:∠CAD、∠CBE都是∠ACB的余角.∴∠CAD=∠CBE

  ∵∠CAD=∠CBG.∴∠CBE=∠CBG

  ∵BDBD,∠BDH=∠BDG∴△BHD≌△BDG

  (2)四边形BGCH是菱形.理由如下:

  证法1:由(1)得△BHD≌△BDG,∴DGDH

  ∴BC垂直平分HG.∴BHBGCHCG

  ∵ABACADBC,∴AD垂直平分BC.∴BHCH

  ∴BHCHCGBG.∴四边形BGCH是菱形.

  证法2:由(1)知△BDH≌△BDG.∴DHDG

  又ABACADBC,∴BDDC

  即  BCHG互相垂直平分,∴四边形BGCH是菱形.

  (3)仍是菱形.理由如下:

  证法1:∵ABACADBC

  ∴AD垂直平分BC.∴BHHCBGCG

  ∵∠BHD,∠BCA都与∠HBC互余,∴∠BHD=∠BCA

  又∠BGA=∠BCA.∴∠BHD=∠BGA

  ∴BHBG.∴BHBGCGHC

  即  四边形BGCH是菱形.

  证法2:∵ABACADBC,∴BDDC,∠BCE=∠ABC=∠AGC

  ∵∠BHD、∠BCE都与∠HBC互余,

  ∴∠BHD=∠BCE=∠AGC

  又∠BDH=∠CDG.∴△BDH≌△CDG.∴HDGD.∴四边形BGCH是菱形.

  [剖析]本题以圆内接三角形为载体,综合考查了圆周角的性质、垂径定理、全等三角形、菱形、同角的余角等知识点.要求我们有较强的分析、探索能力及识图能力和发散思维能力.


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