题目内容
(1)△ABC的高AD、BE相交于点H,AD的延长线交其外接圆于点G(如图).试说明为什么△BDH≌△BDG.

(2)在(1)的条件下,若AB=AC(如图),试判断四边形BGCH的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC的高AD、BE所在直线相交于圆外的点H时(如图),仍然设AB=AC,那么(2)中的结论仍然成立吗?为什么?
答案:
解析:
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[答案](1)由已知条件知:∠CAD、∠CBE都是∠ACB的余角.∴∠CAD=∠CBE. ∵∠ CAD=∠CBG.∴∠CBE=∠CBG.∵ BD=BD,∠BDH=∠BDG=![]() (2)四边形BGCH是菱形.理由如下: 证法 1:由(1)得△BHD≌△BDG,∴DG=DH.∴ BC垂直平分HG.∴BH=BG,CH=CG.∵ AB=AC,AD⊥BC,∴AD垂直平分BC.∴BH=CH.∴ BH=CH=CG=BG.∴四边形BGCH是菱形.证法 2:由(1)知△BDH≌△BDG.∴DH=DG.又 AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC.即 BC与HG互相垂直平分,∴四边形BGCH是菱形.(3)仍是菱形.理由如下: 证法 1:∵AB=AC,AD⊥BC,∴ AD垂直平分BC.∴BH=HC,BG=CG.∵∠ BHD,∠BCA都与∠HBC互余,∴∠BHD=∠BCA.又∠ BGA=∠BCA.∴∠BHD=∠BGA.∴ BH=BG.∴BH=BG=CG=HC.即 四边形 BGCH是菱形.证法 2:∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,∠BCE=∠ABC=∠AGC.∵∠ BHD、∠BCE都与∠HBC互余,∴∠ BHD=∠BCE=∠AGC.又∠ BDH=∠CDG.∴△BDH≌△CDG.∴HD=GD.∴四边形BGCH是菱形.[剖析]本题以圆内接三角形为载体,综合考查了圆周角的性质、垂径定理、全等三角形、菱形、同角的余角等知识点.要求我们有较强的分析、探索能力及识图能力和发散思维能力. |

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