Question

【题目】如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）二次函数解析式为；（2）点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣， ﹣4）；（3）OE的最大值为

【解析】分析：（1）首先确定A、B、C的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到，设OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）如图中，连接AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大，

详解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于轴对称

∴A（-3，0），B（3，0），C（0，﹣4）

设二次函数解析式为

将A（-3，0）代入得

∴二次函数解析式为

（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形.

①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图，连接BC.

∵OB=3．OC=4，

∴BC=5

∵CP2⊥BP2，CP2=

∴BP2=2过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F

则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形

∴，

设OF=P2E=2x，CP2=OE=x

∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4

∴=2

∴x=，2x=，即FP2=，EP2=

∴P2（，﹣）

过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H.同理求得P1（﹣1，﹣2）

②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形

过P4作P4H⊥y轴于H

则△BOC∽△CHP4

∴

∴CH=，P4H=

∴P4（，﹣﹣4）

同理P3（﹣， ﹣4）

综上所述：点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣， ﹣4）.

（3）如图，连接AP

∵OB=OA，BE=EP

∴OE为△ABP的中位线

∴

∴当AP最大时，OE最大

∵当P在AC的延长线上时，AP最大，最大值为

∴OE的最大值为