Question

如图所示，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分
规定：线上各点不属于任何部分，点动点P若在某个部分时，连接PA、PB、构成∠PAC，∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线组成的角是0°角）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立，若不成立，请写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间存在的一个关系式．

Answer 1

分析：（1）首先过P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可证得AC∥PQ∥BD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，继而求得答案；
（2）首先过P作PQ∥AC，由AC∥BD，即可证得AC∥PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠PAC+∠APB+∠PBD=360°．

解答：（1）证明：过P作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC．            …（1分）
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD．
∴∠BPQ=∠PBD．     …（2分）
∴∠APQ+∠BPQ=∠PAC+∠PBD．
即∠APB=∠PAC+∠PBD．                       …（6分）

（2）解：当动点P在第②部分时，结论∠APB=∠PAC+∠PBD不成立，…（8分）
过P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PQ∥BD，
∴∠APQ+∠PAC=180°，∠QPB+∠PBD=180°，
∴∠PAC+∠APB+∠PBD=360°，
即其存在的关系式是∠PAC+∠PBD=360°-∠APB．   …（10分）

点评：此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．