题目内容
我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）
（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．
| ∠BAC的度数 | 40° | 60° | 90° | 120° |
| ∠BIC的度数 | ||||
| ∠BDI的度数 |
分析：（1）通过画图、度量，即可完成表格；
（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°+
∠BAC，∠BDI=90°+
∠BAC．
（2）先从上表中发现∠BIC=∠BDI，再分别证明∠BIC=90°+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）填写表格如下：
（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-
（∠ABC+∠ACB）
=180°-
（180°-∠BAC）
=90+
∠BAC；
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=
∠DAE．
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+
∠BAC．
∴∠BIC=∠BDI．
| ∠BAC的度数 | 40° | 60° | 90° | 120° |
| ∠BIC的度数 | 110° | 120° | 135° | 150° |
| ∠BDI的度数 | 110° | 120° | 135° | 150° |
（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：
∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-
| 1 |
| 2 |
=180°-
| 1 |
| 2 |
=90+
| 1 |
| 2 |
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=
| 1 |
| 2 |
∵DE⊥AI于I，
∴∠AID=90°．
∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+
| 1 |
| 2 |
∴∠BIC=∠BDI．
点评：本题主要考查了三角形的内心的性质，三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质，比较简单．
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