题目内容

（2009•深圳）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）．
（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．
（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标．
②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．
分析：（1）由Rt△ABC中，CO⊥AB可证△AOC∽△COB，由相似比得OC2=OA•OB，设OA的长为x，则OB=5-x，代入可求OA，OB的长，确定A，B，C三点坐标，求抛物线解析式；
（2）根据△BDE为等腰三角形，分为DE=EB，EB=BD，DE=BD三种情况，分别求E点坐标；
（3）作辅助线，将求△CDP的面积问题转化．方法一：如图1，连接OP，根据S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD，表示△CDP的面积；方法二：过点P作PE⊥x轴于点F，则S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP，表示△CDP的面积；再利用二次函数的性质求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标．
解答：解：（1）设OA的长为x，则OB=5-x；
∵OC=2，AB=5，∠BOC=∠AOC=90°，∠OAC=∠OCB；
∴△AOC∽△COB，∴OC2=OA•OB
∴22=x（5-x）                                      …（1分）
解得：x1=1，x2=4，
∵OA＜OB，∴OA=1，OB=4；                      …（2分）
∴点A、B、C的坐标分别是：A（-1，0），B（4，0），C（0，2）；
（注：直接用射影定理的，不扣分）
方法一：设经过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=ax2+bx+2，
将A、B、C三点的坐标代入得
a-b+2=0
16a+4b+2=0
c=2
…（3分）
解得：a=-
1
2
，b=
3
2
，c=2
所以这个二次函数的表达式为：y=-
1
2
x2+
3
2
x+2…（4分）
方法二：设过点A、B、C的抛物线的关系式为：y=a（x+1）（x-4）…（3分）
将C点的坐标代入得：a=-
1
2

所以这个二次函数的表达式为：y=-
1
2
x2+
3
2
x+2…（4分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）①当△BDE是等腰三角形时，点E的坐标分别是：(3，
1
2
)，(
4
5
，
8
5
)，(4-
4
5
5
，
2
5
5
)．
…1+1+（1分）
（注：符合条件的E点共有三个，其坐标，写对一个给1分）
②如图1，连接OP，
S△CDP=S四边形CODP-S△COD=S△COP+S△ODP-S△COD            …（8分）
=
1
2
×2m+
1
2
×2n-
1
2
×2×2=m+n-2
=-
1
2
m2+
5
2
m=-
1
2
(m-
5
2
)2+
25
8
…（9分）
∴当m=
5
2
时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（
5
2
，
21
8
），
S△CDP的最大值是
25
8
．                           …（10分）
另解：如图2、图3，过点P作PF⊥x轴于点F，则
S△CDP=S梯形COFP-S△COD-S△DFP                             …（8分）
=
1
2
×(2+n)m-
1
2
×2×2-
1
2
×|m-2|•n=m+n-2
=-
1
2
m2+
5
2
m=-
1
2
(m-
5
2
)2+
25
8
…（9分）
∴当m=
5
2
时，△CDP的面积最大．此时P点的坐标为（
5
2
，
21
8
），
S△CDP的最大值是
25
8
．                                 
（注：只回答有最大面积，而没有说明理由的，不给分；点P的坐标，或最大面积计算错误的，扣（1分）；其他解法只要合理，酌情给分．）
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角三角形中斜边上的高分得的两个三角形相似，利用相似比求A、B两点坐标，确定抛物线解析式，根据等腰三角形的性质求E点坐标，利用作辅助线的方法表示△CDP的面积，由二次函数的性质求三角形面积的最大值．
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