Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上．

（1）b=___，c=____，点B的坐标为______；

（2）是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由见解析，P的坐标是或；（3）（，）或（，）．

【解析】

（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；

（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．

解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．
∵令x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3．
∴点B的坐标为（-1，0）．
故答案为：-2；-3；（-1，0）．
（2）存在．
理由：如图所示：

①当∠ACP1=90°．
由（1）可知点A的坐标为（3，0）．
设AC的解析式为y=kx-3．
∵将点A的坐标代入得3k-3=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x-3．
∴直线CP1的解析式为y=-x-3．
∵将y=-x-3与y=x2-2x-3联立解得x1=1，x2=0（舍去），
∴点P1的坐标为（1，-4）．
②当∠P2AC=90°时．
设AP2的解析式为y=-x+b．
∵将x=3，y=0代入得：-3+b=0，解得b=3．
∴直线AP2的解析式为y=-x+3．
∵将y=-x+3与y=x2-2x-3联立解得x1=-2，x2=3（舍去），
∴点P2的坐标为（-2，5）．
综上所述，P的坐标是（1，-4）或（-2，5）．

（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在Rt△AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF＝．
∴点P的纵坐标是．
∴x22x3＝，解得：x＝ ．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．