Question

（本小题满分12分）
已知抛物线C的方程C：y ² ="2" p x（p＞0）过点A（1，-2）.
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.解析:
本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.
解：（Ⅰ）将（1,-2）代入，所以.
故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为.
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，
由，得y2 ＋2 y －2 t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ="4+8" t，解得t ≥－1/2 .
另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1.
因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.