题目内容
如图,直线分别与x、y轴交于点B、C,点A(﹣2,0),P是直线BC上的动点.
(1)求∠ABC的大小;
(2)求点P的坐标,使∠APO=30°;
(3)在坐标平面内,平移直线BC,试探索:当BC在不同位置时,使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变?若不变,指出点P的个数有几个?若改变,指出点P的个数情况,并简要说明理由.
(1)60°
(2)点P坐标为(0,),(1,)
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个。理由见解析
【解析】
试题分析:(1)求得B、C的坐标,在直角△BOC中,利用三角函数即可求解。
(2)取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆⊙Q,⊙Q与直线BC的两个交点,即为所求;
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个,如答图2所示。
解:(1)在中,令x=0,得y=;令y=0,得x=2。
∴C(0,),B(2,0)。∴OC=,OB=2。
∴。∴∠ABC=60°。
(2)如答图1,连接AC,
由(1)知∠ABC=60°,∴BC=2OB=4。
又∵AB=4,∴AB=BC。
∴△ABC为等边三角形,AB=BC=AC=4。
取AC中点Q,以点Q为圆心,2为半径长画圆,与直线BC交于点P1,P2。
∵QP1=2,QO=2,
∴点P1与点C重合,且⊙Q经过点O。
∴P1(0,)。
∵QA=QO,∠CAB=60°,∴△AOQ为等边三角形。
∴在⊙Q中,AO所对的圆心角∠OQA=60°。
由圆周角定理可知,AO所对的圆周角∠APO=30°,故点P1、P2符合条件。
∵QC=QP2,∠ACB=60°,∴△P2QC为等边三角形。∴P2C=QP=2。∴点P2为BC的中点。
∵B(2,0),C(0,),∴P2(1,)。
综上所述,符合条件的点P坐标为(0,),(1,)。
(3)当BC在不同位置时,点P的个数会发生改变,使∠APO=30°的点P的个数情况有四种:1个、2个、3个、4个。如答图2所示,
以AO为弦,AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个,记为⊙Q,⊙Q′,点Q,Q′关于x轴对称。
∵直线BC与⊙Q,⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°,
∴点P的个数情况如下:
①有1个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切;
②有2个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相交;
③有3个:直线BC与⊙Q(或⊙Q′)相切,同时与⊙Q(或⊙Q′)相交;直线BC过⊙Q与⊙Q′的一个交点,同时与两圆都相交;
④有4个:直线BC同时与两圆都相交,且不过两圆的交点