Question

（2011•镇江模拟）如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？
②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．
（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长．
②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．
解答：解：（1）BO=AB•cos60°=4×=2（m）
AO=AB•sin60°=4×=2（m）
答：BO=2m；AO=2m．

（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．
根据勾股定理有OC²+OD²=CD²．
∴（2-2x）²+（2+3x）²=4²．
∴13x²+（12-8）x=0．
∵x≠0，
∴13x+12-8=0，
∴x=m．
∴AC=2x=m．
答：梯子顶端A沿NO下滑了m．

②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点．
∴PA=PO，P′A′=P′O．
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
又∵∠PAO=30°．
∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2（m）．
∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．
点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．本题中要注意直角三角形斜边中线定理的运用．