题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,点O为Rt△ABC内一点,连接A0、BO、CO,且∠AOC=∠COB=BOA=120°,按下列要求画图(保留画图痕迹):以点B为旋转中心,将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′),则∠A′BC=______,OA+OB+OC=______.
【答案】90° .
【解析】
(1)先根据三角函数的定义求出∠ABC的度数,再根据旋转的性质得OA=O′A′,BO=BO′,BA′=BA=2,∠OBO′=∠ABA′=60°,∠BO′A′=∠BOA=120°,则∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°;
(2)先判断△BOO′为等边三角形,所以OO′=BO,∠BOO′=∠BO′O=60°,再证明点C、O、O′、A′共线,从而得到A′C=OC+OB+OA,然后利用勾股定理计算A′C即可.
解:(1)∵∠C=90°,AC=1,BC=,
∴tan∠ABC==,AB=2,
∴∠ABC=30°,
∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B(得到A、O的对应点分别为点A′、O′),
∴OA=O′A′,BO=BO′,BA′=BA=2,∠OBO′=∠ABA′=60°,∠BO′A′=∠BOA=120°,
∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°;
(2)∵BO=BO′,∠OBO′=∠ABA′=60°
∴△BOO′为等边三角形,
∴OO′=BO,∠BOO′=∠BO′O=60°,
而∠BOC=120°,
∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°,
∴点O′在直线CO上,
同理可得点O、O′、A′共线,
∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA,
∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°,
∴A′C==,
即OA+OB+OC=.
故答案为90°,.