Question

（1）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，如果AB=2010，那么则CD=

 

．

（2）已知a，b是正整数，且满足2 ( 

15 a

+

15 b

  )也是整数，请写出所有满足条件的有序数对（a，b）．

Answer 1

分析：（1）作BE∥AD于E，则四边形ABED是平行四边形，得∠BEC=∠ADC，DE=AB=2010，则∠EBC=90°．要求CD的长，只需根据勾股定理求得CE的长．结合等腰直角三角形的面积公式和S₁+S₃=4S₂，即可求解；
（2）根据题意，只需保证

15 a

+

15 b

=2或

1

2

或

3

2

即可．

解答：解：（1）作BE∥AD于E，则四边形ABED是平行四边形．
∴∠BEC=∠ADC，DE=AB=2010．
又∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠EBC=90°．
∵S₁+S₃=4S₂，S₂=

1

2

×

1

2

×2010×2010，
∴BE²+BC²=4（S₁+S₃）=2010×2010×4，
∴CE=4020．
∴CD=6030．

（2）（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）．

点评：（1）综合运用了平行四边形的判定及性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．
注意：根据等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线，斜边上的中线等于斜边的一半，知等腰直角三角形的面积等于斜边的平方的一半．
（2）考查了二次根式的化简．