题目内容
【题目】(1)如图1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,
①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系,不用说明理由;
②判断∠AFC与∠B的数量关系,请说明理由.
(2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中其他条件不变,请问你在(1)中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立?请说明理由.
【答案】(1)①FE=FD;②∠AFC=2∠B;(2)FE=FD仍然成立,理由见解析.
【解析】
(1)①首先过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N,连接BF,根据角平分线的性质,可得FM=FN,又由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,求得∠NEF=75°=∠MDF,又由∠DMF=∠ENF=90°,利用AAS,即可证得△DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD;②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,利用三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和,可求出.(2)过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N,连接BF,根据角平分线的性质,可得FN=FM,由∠ABC=60°,即可求得∠MFN=120°,∠EFD=∠AFC=120°,继而求得∠DFM=∠NFE,利用ASA,即可证得△DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD.
(1)①如图1,过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N,连接BF,
∵F是角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠DAC= ∠BAC=15°,
∴∠CDA=75°,
∵∠MFC=45°,∠MFN=120°,
∴∠NFE=15°,
∴∠NEF=75°=∠MDF,
在△DMF和△ENF中,
∠DMF=∠ENF,∠MDF=∠NEF,MF=NF,
∴△DMF≌△ENF(AAS),
∴FE=FD;
②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,所以∠AFC=120°,因为∠B=60°,所以∠AFC=2∠B.
(2)如图2,过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N,连接BF,
∵F是角平分线交点,
∴BF也是角平分线,
∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°,
∴四边形BNFM是圆内接四边形,
∵∠ABC=60°,
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°,
∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-
(180°-∠ABC)=180°-
(180°-60°)=120°,
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°.
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN,∠DFE=∠DFN+∠NFE,
∴∠DFM=∠NFE,
在△DMF和△ENF中,
∴△DMF≌△ENF(ASA),
∴FE=FD.
