题目内容

【题目】1)如图1,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B60°,ADCE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,ADCE相交于点F

①请你猜想写出FEFD之间的数量关系,不用说明理由;

②判断∠AFC与∠B的数量关系,请说明理由.

2)如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中其他条件不变,请问你在(1)中所得FEFD之间的数量关系是否依然成立?请说明理由.

【答案】1)①FE=FD;②∠AFC=2B;(2FE=FD仍然成立,理由见解析.

【解析】

1)①首先过点FFMBCM.作FNABN,连接BF,根据角平分线的性质,可得FM=FN,又由在RtABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,求得∠NEF=75°=MDF,又由∠DMF=ENF=90°,利用AAS,即可证得DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD;②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,利用三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和,可求出.2)过点FFMBCM.作FNABN,连接BF,根据角平分线的性质,可得FN=FM,由∠ABC=60°,即可求得∠MFN=120°,∠EFD=AFC=120°,继而求得∠DFM=NFE,利用ASA,即可证得DMF≌△ENF,由全等三角形的对应边相等,即可证得FE=FD

1)①如图1,过点FFMBCM.作FNABN,连接BF

F是角平分线交点,

BF也是角平分线,

MF=FN,∠DMF=ENF=90°

∵在RtABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°

∴∠BAC=30°

∴∠DAC= BAC=15°

∴∠CDA=75°

∵∠MFC=45°,∠MFN=120°

∴∠NFE=15°

∴∠NEF=75°=MDF

DMFENF中,

DMF=∠ENF,∠MDF=∠NEFMF=NF

∴△DMF≌△ENF(AAS)

FE=FD

②由①知∠BCE=45°,∠CDF=75°,所以∠AFC=120°,因为∠B=60°,所以∠AFC=2B.

2)如图2,过点FFMBCM.作FNABN,连接BF

F是角平分线交点,

BF也是角平分线,

MF=FN,∠DMF=ENF=90°

∴四边形BNFM是圆内接四边形,

∵∠ABC=60°

∴∠MFN=180°-ABC=120°

∵∠CFA=180°-(FAC+FCA)=180°- (ABC+ACB)=180°- (180°-ABC)=180°- (180°-60°)=120°

∴∠DFE=CFA=MFN=120°

又∵∠MFN=MFD+DFN,∠DFE=DFN+NFE

∴∠DFM=NFE

DMFENF中,

∴△DMF≌△ENF(ASA)

FE=FD

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