题目内容

如图一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 $数学公式$ 的图象相交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围；
（3）根据图象写出使反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；
（4）求△AOB的面积．

解：（1）把A（2，1）代入解析式y= $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ =1，
解得，m=2．
故反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ，
将B（-1，n）代入y= $\text{[math]}$ 得，
n= $\text{[math]}$ =-2．
则B点坐标为（-1，-2）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（2，1），B（-1，-2）代入解析式得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
一次函数解析式为y=x-1．

（2）因为A点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-2），
由图可知，x＞2和-1＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

（3）因为A点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-2），
由图可知，0＜x＜2和x＜-1时，反比例函数值大于一次函数值．

（4）如图，令x-1=0，x=1，故D点坐标为（1，0），
S_△AOB= $\text{[math]}$ ×1×1+ $\text{[math]}$ ×2×1= $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据点A位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B坐标代入反比例函数解析式，求出n的值，进而求出一次函数解析式；
（2）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围；
（3）根据点A和点B的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
（4）求出直线和x轴的交点D的坐标，将△AOB的面积化为△AOD和△BOD的面积之和解答．
点评：此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象求出交点坐标是解题的关键．解题过程体现了数形结合在解题中的应用．