题目内容
(2009•深圳)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,∠EDC:∠EDA=1:3,且AC=10,则DE的长度是( )![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_ST/images0.png)
A.3
B.5
C.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_ST/0.png)
D.
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_ST/1.png)
【答案】分析:根据∠EDC:∠EDA=1:3,可得∠EDC=22.5°,∠EDA=67.5°,再由AC=10,求得DE.
解答:解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=
AC=5,OB=OD=
BD=5,
∴OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠EDC:∠EDA=1:3,∠EDC+∠EDA=90°,
∴∠EDC=22.5°,∠EDA=67.5°,
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°,
∴∠ODC=∠OCD=67.5°,
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°,
∴∠COD=45°,
∴OE=DE,
∵OE2+DE2=OD2,
∴(2DE)2=OD2=25,
∴DE=
,
故选D.
点评:本题主要考查了勾股定理和矩形的性质,是一道中等题.
解答:解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_DA/0.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_DA/1.png)
∴OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠EDC:∠EDA=1:3,∠EDC+∠EDA=90°,
∴∠EDC=22.5°,∠EDA=67.5°,
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°,
∴∠DCE=90°-∠EDC=67.5°,
∴∠ODC=∠OCD=67.5°,
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°,
∴∠COD=45°,
∴OE=DE,
∵OE2+DE2=OD2,
∴(2DE)2=OD2=25,
∴DE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021225733632517312/SYS201310212257336325173005_DA/2.png)
故选D.
点评:本题主要考查了勾股定理和矩形的性质,是一道中等题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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