题目内容
(2012•孝感)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点的坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;
(3)若P为抛物线在第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;
(3)若P为抛物线在第一象限上的一个动点,过点P作PQ∥AC交x轴于点Q.当点P的坐标为
(2,3)
(2,3)
时,四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为(
,
)
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16 |
(
,
)
时,四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果,不写求解过程).11 |
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分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,然后化为顶点式求出D点坐标;
(2)本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式,这个表达式是关于P点横坐标的二次函数,再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值,并求出P点坐标;
(3)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时,需要结合几何图形的性质求出P点坐标:
①当四边形PQAC为平行四边形时,如答图1所示.构造全等三角形求出P点的纵坐标,再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点,求出P点的横坐标;
②当四边形PQAC为平行四边形时,如答图2所示.利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系,求出P点坐标.注意三角函数关系部分,也可以用相似三角形解决.
(2)本问关键是求出四边形PMAC面积的表达式,这个表达式是关于P点横坐标的二次函数,再利用二次函数求极值的方法求出面积的最大值,并求出P点坐标;
(3)四边形PQAC为平行四边形或等腰梯形时,需要结合几何图形的性质求出P点坐标:
①当四边形PQAC为平行四边形时,如答图1所示.构造全等三角形求出P点的纵坐标,再利用P点与C点关于对称轴x=1对称的特点,求出P点的横坐标;
②当四边形PQAC为平行四边形时,如答图2所示.利用等腰梯形、平行四边形、全等三角形以及线段之间的三角函数关系,求出P点坐标.注意三角函数关系部分,也可以用相似三角形解决.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3)
∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0)
∴
,解得
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3
又∵y=-x2+2x+3,y=-(x-1)2+4
∴顶点D的坐标是(1,4).
(2)设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0)
∵直线y=kx+n过点B(3,0),D(1,4)
∴
,解得
∴直线BD的解析式:y=-2x+6
∵P点在线段BD上,因此,设点P坐标为(m,-2m+6)
又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A(-1,0),C(0,3)∴OA=1,OC=3
设四边形PMAC面积为S,则
S=
OA•OC+
(PM+OC)•OM=
×1×3+
(-2m+6+3)•m
=-m2+
m+
=-(m-
)2+
∵1<
<3
∴当m=
时,四边形PMAC面积的最大值为
,
将x=
代入y=-2x+6 解得y=
,
此时,P点坐标是(
,
).
(3)答案:(2,3);(
,
).
*注:以下给出解题简要过程,原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形,如右图①所示.
过点P作PE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△QEP,∴yP=PE=CO=3.
又CP∥x轴,则点C(0,3)与点P关于对称轴x=1对称,∴xP=2.
∴P(2,3).
②四边形PQAC是等腰梯形,如右图②所示.
设P(m,n),P点在抛物线上,则有n=-m2+2m+3.
过P点作PE⊥x轴于点E,则PE=n.
在Rt△OAC中,OA=1,OC=3,∴AC=
,tan∠CAO=3,cos∠CAO=
;
∵PQ∥CA,∴tan∠PQE=
=tan∠CAO=3,
∴QE=
n,PQ=
=
n.
过点Q作QM∥PC,交AC于点M,则四边形PCMQ为平行四边形,△QAM为等腰三角形.再过点Q作QN⊥AC于点N.
则有:CM=PQ=
n,AN=
AM=
(AC-CM)=
(1-
n),
AQ=
=
=5(1-
n).
又AQ=AO+OQ=1+(m-
n),
∴5(1-
n)=1+(m-
n),化简得:n=3-
m;
又P点在抛物线上,有n=-m2+2m+3,
∴-m2+2m+3=3-
m,化简得:m2-
m=0,解得m1=0(舍去),m2=
∴m=
,n=3-
m=
,
∴P(
,
).
∴当x=0时,c=3.
又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0)
∴
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∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3
又∵y=-x2+2x+3,y=-(x-1)2+4
∴顶点D的坐标是(1,4).
(2)设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0)
∵直线y=kx+n过点B(3,0),D(1,4)
∴
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∴直线BD的解析式:y=-2x+6
∵P点在线段BD上,因此,设点P坐标为(m,-2m+6)
又∵PM⊥x轴于点M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A(-1,0),C(0,3)∴OA=1,OC=3
设四边形PMAC面积为S,则
S=
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1 |
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=-m2+
9 |
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3 |
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9 |
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∵1<
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∴当m=
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4 |
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将x=
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此时,P点坐标是(
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(3)答案:(2,3);(
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*注:以下给出解题简要过程,原题并无此要求******
①四边形PQAC是平行四边形,如右图①所示.
过点P作PE⊥x轴于点E,易证△AOC≌△QEP,∴yP=PE=CO=3.
又CP∥x轴,则点C(0,3)与点P关于对称轴x=1对称,∴xP=2.
∴P(2,3).
②四边形PQAC是等腰梯形,如右图②所示.
设P(m,n),P点在抛物线上,则有n=-m2+2m+3.
过P点作PE⊥x轴于点E,则PE=n.
在Rt△OAC中,OA=1,OC=3,∴AC=
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∵PQ∥CA,∴tan∠PQE=
PE |
QE |
∴QE=
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QE2+PE2 |
| ||
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过点Q作QM∥PC,交AC于点M,则四边形PCMQ为平行四边形,△QAM为等腰三角形.再过点Q作QN⊥AC于点N.
则有:CM=PQ=
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AQ=
AN |
cos∠CAO |
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又AQ=AO+OQ=1+(m-
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∴5(1-
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又P点在抛物线上,有n=-m2+2m+3,
∴-m2+2m+3=3-
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∴m=
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∴P(
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点评:本题综合考查了诸多重要的知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的极值、图形面积的求法、等腰梯形、平行四边形、等腰三角形、三角函数(或相似三角形)等,涉及考点众多,有一定的难度.本题难点在于第(3)问等腰梯形的情形,注意该种情形下求点的坐标的方法.
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