Question

我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，勾股定理如下：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．如图1，△ABC是直角三角形，∠C是直角，则有AC²+BC²=AB²，请解答下列问题：
（1）如图2，△ABC是直角三角形，∠C是直角，直角边AC=4，斜边AB=5，请用勾股定理计算直角边CB，则CB=

 

；
（2）如图2，在（1）的条件下，D是BC边上一点且2CD-3BD=1，则CD=

 

，BD=

 

．
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠DAB=α，用课堂学习过的知识求∠B（用α表示）．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理可得CB²=AB²-AC²，代入即可得出CB的长度．
（2）由（1）可得CD+DB=3，结合2CD-3BD=1，可解出CD及BD的值．
（3）利用反三角函数可得出∠ADC的值，从而利用三角形的外角的知识可表示出∠B．

解答：解：（1）由题意得，CB²=AB²-AC²，
∴可求得CB=

52-42

=3．

（2）由已知条件可得：

CD+DB=3 2CD-3BD=1

，
解得：

CD=2 BD=1

．

（3）tan∠ADC=

AC

CD

=2，
∴∠ADC=arctan2，
故可得∠B=∠ADC-∠DAB=arctan2-α．

点评：本题考查勾股定理及反三角函数的知识，难度一般，解答本题的关键是仔细阅读题目，利用勾股定理解出（1）（2），然后利用反三角函数及三角形的外角可求出（3）．