Question

【题目】如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．

（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．

∵PE=PF=6，EF=6 ，

∴FG=EG=3 ，∠FPG=∠EPG= ∠EPF．

在Rt△FPG中，sin∠FPG= = = ，

∴∠FPG=60°，

∴∠EPF=120°．

（2）

解：过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．

∵AC为菱形ABCD的对角线，

∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．

在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，

∴Rt△PME≌Rt△PNF，

∴ME=NF．

又AP=10，∠PAM= ∠DAB=30°，

∴AM=AN=APcos30°=10× =5 ，

∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10

（3）

解：如图，

当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，

∴P1O=PO=3，AO=9，

∴AP的最大值为12，AP的最小值为6

【解析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．