Question

如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB垂直平分线段CD；（4）四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数为

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：（1）△ABM和△CDM是全等的等边三角形，那么可知这两个三角形的内角都等于60°，所有的边都相等，即知∠AMB=∠CMD=60°，又MA⊥MD，故∠AMD=90°，利用周角概念可求∠BMC，而BM=CM，结合三角形内角和等于180°，可求∠MBC、∠MCB；
（2）由于MA⊥MB，则∠AMD=90°，而MA=MD，那么∠MDA=45°，又∠MDC=60°，可求∠ADC=105°，由（1）中可知∠MBC=15°，则∠ABC=60°+15°=75°，所以∠ADC+∠ABC=180°；
（3）延长BM交CD于N，∠NMC是△BMC的外角，可求∠NMC=30°，即知MN是△CDM的角平分线，根据等腰三角形三线合一性质可知MB垂直平分CD；
（4）利用（2）中的方法可求∠BAD=105°，∠BCD=75°，易证∠BAD+∠ABC=180°，则AD∥BC，又∵AB=DC，可证四边形ABCD是等腰梯形，从而可知四边形ABCD是轴对称图形．
解答：（1）∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等边三角形，
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，
又∵MA⊥MD，
∴∠AMD=90°，
∴∠BMC=360°-60°-60°-90°=150°，
又∵BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB=15°；
（2）∵AM⊥DM，
∴∠AMD=90°，
又∵AM=DM，
∴∠MDA=∠MAD=45°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∠ABC=60°+15°=75°，
∴∠ADC+∠ABC=180°；
（3）延长BM交CD于N，
∵∠NMC是△MBC的外角，
∴∠NMC=15°+15°=30°，
∴BM所在的直线是△CDM的角平分线，
又∵CM=DM，
∴BM所在的直线垂直平分CD；
（4）根据（2）同理可求∠DAB=105°，∠BCD=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形．
故（2）（3）（4）正确．
故选C．
点评：本题利用了等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定、梯形的判定、等腰三角形三线合一定理、轴对称的判定．