Question

阅读下列材料：
一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．
已知a=2004²+2004²×2005²+2005²，试说明a是一个完全平方数．

Answer 1

解：设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：
a=x²+x²（x+1）²+（x+1）²，
=x²-2x（x+1）+（x+1）²+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=[x-（x+1）]²+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=1+2x（x+1）+x²（x+1）²，
=[1+x（x+1）]²，
=[1+x+x²]²，
=（1+2004+2004²）²，
=4018021²．
∴a是一个完全平方数．
分析：考虑到2004²、2005²都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2004，则2005=2004+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．
点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．