Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连结OC。
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值。

Answer 1

解：（1）由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°，
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，故△CDQ是等腰三角形；
（2）设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=AB∕2=1，BC=，
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=，
于是AQ=AC+CQ=1+，
进而AP=AQ∕2=（1+）∕2，
∴BP=AB-AP=2-（1+）∕2=（3-）∕2，
PO=AP-AO=（1+）∕2-1=（-1）∕2，
∴BP:PO=。