Question

如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．

（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；

（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；

（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）30°；（2）详见试题解析; （3）135°或315°.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；

（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△DCE′，

则GD′=E′D；

（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．

试题解析：（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）∵G为BC中点，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△DCE′中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）能．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴CB=CD，

∵CD=CD′，

∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，

当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，

当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，α==135°，

当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°﹣=315°，

即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．

考点： 1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质；4.正方形的性质．