题目内容

【题目】如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC,连接BC,作ABC的外接圆O,点P为劣弧上的一个动点,弦AB、CP相交于点D.

(1)求APB的大小;

(2)当点P运动到何处时,PDAB?并求此时CD:CP的值;

(3)在点P运动过程中,比较PC与AP+PB的大小关系,并对结论给予证明.

【答案】(1)、120°;(2)、3:4;(3)、PC=AP+PB;证明过程见解析

【解析】

试题分析:(1)、先根据题意判断出ABC是等边三角形,再根据圆内接四边形对角互补的性质可知APB+ACB=180°,进而可得出结论;(2)、连接PC,OA,OB,设O的半径为r,则CP=2r,根据O为等边ABC的外接圆可求出OAB=30°,再根据直角三角形的性质可用r表示出OD,CD的值,进而得出结论;

(3)、在AP的延长线上取点Q,使PQ=PB,连接BQ,可判断出BPQ是等边三角形,再根据全等三角形的判定定理得出ABQ≌△CBP,由全等三角形的性质即可得出结论.

试题解析:(1)、AB=AC,BAC=60° ∴△ABC是等边三角形,∵∠APB+ACB=180°∴∠APB=120°

(2)、当点P运动到的中点时,PDAB, 如图1,连接PC,OA,OB,设O的半径为r,则CP=2r,

∵⊙O为等边ABC的外接圆, ∴∠OAB=30° 在RtOAD中, OD=OA=

CD=+r= CD:CP=:2r=3:4;

(3)、PC=AP+PB

方法一: 如图2,在AP的延长线上取点Q,使PQ=PB,连接BQ, ∵∠APB=120°

∴∠BPQ=60° ∴△BPQ是等边三角形, PB=BQ, ∵∠CBP=CBA+ABP=60°+ABP,

ABQ=QBP+ABP=60°+ABP, ∴∠ABQ=CBP, ABQ和CBP中,PB=QB,CBP=ABQ,CB=AB, ∴△ABQ≌△CBP, CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB;

方法二:如图3,B为圆心,BP为半径画圆交CP于点M,连接BM, ∵∠CPB=60°

∴△PBM是等边三角形, ∵∠CMB=120° ∴∠CMB=APB, ∴△APB≌△CMB, PC=AP+PB;

方法三:(略证)如图4,以A为圆心,A为半径画圆交CP于N,连接AN,

先证APN是等边三角形,再证ANC≌△APB, 从而PC=AP+PB.

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