题目内容
【题目】如图,将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC,连接BC,作△ABC的外接圆⊙O,点P为劣弧上的一个动点,弦AB、CP相交于点D.
(1)求∠APB的大小;
(2)当点P运动到何处时,PD⊥AB?并求此时CD:CP的值;
(3)在点P运动过程中,比较PC与AP+PB的大小关系,并对结论给予证明.
【答案】(1)、120°;(2)、3:4;(3)、PC=AP+PB;证明过程见解析
【解析】
试题分析:(1)、先根据题意判断出△ABC是等边三角形,再根据圆内接四边形对角互补的性质可知∠APB+∠ACB=180°,进而可得出结论;(2)、连接PC,OA,OB,设⊙O的半径为r,则CP=2r,根据⊙O为等边△ABC的外接圆可求出∠OAB=30°,再根据直角三角形的性质可用r表示出OD,CD的值,进而得出结论;
(3)、在AP的延长线上取点Q,使PQ=PB,连接BQ,可判断出△BPQ是等边三角形,再根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP,由全等三角形的性质即可得出结论.
试题解析:(1)、∵AB=AC,∠BAC=60°, ∴△ABC是等边三角形,∵∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=120°
(2)、当点P运动到的中点时,PD⊥AB, 如图1,连接PC,OA,OB,设⊙O的半径为r,则CP=2r,
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆, ∴∠OAB=30°, 在Rt△OAD中, ∵OD=OA=,
∴CD=+r=, ∴CD:CP=:2r=3:4;
(3)、PC=AP+PB
方法一: 如图2,在AP的延长线上取点Q,使PQ=PB,连接BQ, ∵∠APB=120°,
∴∠BPQ=60°, ∴△BPQ是等边三角形, ∴PB=BQ, ∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP,
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP, ∴∠ABQ=∠CBP, 在△ABQ和△CBP中,PB=QB,∠CBP=∠ABQ,CB=AB, ∴△ABQ≌△CBP, ∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB,即PC=AP+PB;
方法二:如图3,B为圆心,BP为半径画圆交CP于点M,连接BM, ∵∠CPB=60°,
∴△PBM是等边三角形, ∵∠CMB=120°, ∴∠CMB=∠APB, ∴△APB≌△CMB, ∴PC=AP+PB;
方法三:(略证)如图4,以A为圆心,A为半径画圆交CP于N,连接AN,
先证△APN是等边三角形,再证△ANC≌△APB, 从而PC=AP+PB.
【题目】上海市居民用户燃气收费标准如表:
年用气量(立方米) | 每立方米价格(元) |
第一档0﹣﹣﹣310 | 3.00 |
第二档310(含)﹣﹣﹣520(含) | 3.30 |
第三档520以上 | 4.20 |
某居民用户用气量在第一档,那么该用户每年燃气费y(元)与年用气量x(立方米)的函数关系式是__.
【题目】甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需70吨水泥,B地需110吨水泥,两库到A,B两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/(吨、千米)”表示每吨水泥运送1千米所需人民币)(本题满分10分)
路程/千米 | 运费(元/吨、千米) | |||
甲库 | 乙库 | 甲库 | 乙库 | |
A地 | 20 | 15 | 12 | 12 |
B地 | 25 | 20 | 10 | 8 |
(1)设甲库运往A地水泥吨,求总运费(元)关于(吨)的函数关系式;
(2)当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?