题目内容
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线.
(2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:CD=HF.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)连接OE,由于BE是角平分线,则有∠CBE=∠OBE;而OB=OE,就有∠OBE=∠OEB,等量代换有∠OEB=∠CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可得OE∥BC;又∠C=90°,所以∠AEO=90°,即AC是⊙O的切线;
(2)连结DE,先根据AAS证明△CDE≌△HFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF.
试题解析:(1)如图1,连接OE.
∵BE⊥EF,
∴∠BEF=90°,
∴BF是圆O的直径.
∵BE平分∠ABC,
∴∠CBE=∠OBE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OEB=∠CBE,
∴OE∥BC,
∴∠AEO=∠C=90°,
∴AC是⊙O的切线;
(2)如图2,连结DE.
∵∠CBE=∠OBE,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,
∴EC=EH.
∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°,
∴∠CDE=∠HFE.
在△CDE与△HFE中,
,
∴△CDE≌△HFE(AAS),
∴CD=HF.
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