Question

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB，已知⊙O的半径为1．
（1）圆心O到BD的距离是

2

2

；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）连接BD，OD，作OE⊥BD于点E，易证OE是△BOD的中位线，△ABD和△OBD都是等腰直角三角形，据此即可求解；
（2）根据S_阴影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB即可求解．

解答：解：（1）连接BD，OD，作OE⊥BD于点E．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵∠DAB=45°，
∴∠DAB=∠ABD=45°，
∴AD=BD=

2

2

AB=

2

．
∵OE⊥BD，∠ADB=90°，
∴OE∥AD，
∵OA=OB
∴OE=

1

2

AD=

2

2

，
故答案是：

2

2

；

（2）∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．∠DBC=∠ADB=90°．
∴AD=BC
又∵AD=BD，
∴BD=BC=

2

，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴S_△BCD=

1

2

BC•BD=1．
S_△BOD=

1

2

OB•OD=

1

2

×1×1=

1

2

．
S_扇形DOB=

1

4

π，
∴S_阴影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB=1+

1

2

-

1

4

π=

3

4

-

1

4

π．

点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理以及扇形的面积计算，正确理解S_阴影=S_△BCD+S_△BOD-S_扇形DOB是关键．