Question

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm²）（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC；
（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：114²=12996，115²=13225，116²=13456或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．
（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．
（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．

解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC
∴

EG

AC

=

FG

BC

，

4

8

=

FG

6

∴FG=

4×6

8

=3cm
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x=

1 2 FG

1

=

1

2

×3=1.5（s）
∴当x为1.5s时，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴

EG

AH

=

EF

AF

=

FG

FH

∴AH=

4

5

（x+5），FH=

3

5

（x+5）
过点O作OD⊥FP，垂足为D

∵点O为EF中点
∴OD=

1

2

EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四边形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=

1

2

•AH•FH-

1

2

•OD•FP
=

1

2

•

4

5

（x+5）•

3

5

（x+5）-

1

2

×2×（3-x）
=

6

25

x²+

17

5

x+3（0＜x＜3）．

（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24
则S_{四边形OAHP}=

13

24

×S_△ABC
∴

6

25

x²+

17

5

x+3=

13

24

×

1

2

×6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=

5

2

，x₂=-

50

3

（舍去）
∵0＜x＜3
∴当x=

5

2

（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．

点评：本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决．