Question

（2012•青岛）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE，点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图①所示，当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．解决问题的要点是将△PQE的三边长PE、QE、PQ用时间t表示，这需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例线段关系（或三角函数）；
（2）本问关键是利用等式“五边形PQBCD的面积=四边形DCBE的面积-△PQE的面积”，如图②所示．为求△PQE的面积，需要求出QE边上的高，因此过P点作QE边上的高，利用相似关系（△PME∽△ABC）求出高的表达式，从而问题解决；
（3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，则此时S_△PQE=

1

30

S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点E到PQ的距离h利用△PQE的面积公式得到．

解答：解：（1）如图①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=

62+82

=10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=

1

2

BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB

PE

AB

=

QE

BC

由题意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即

4-t

10

=

2t-5

8

，
解得t=

41

14

；

（2）如图②，过点P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得

PM

AC

=

PE

AB

，
∴

PM

6

=

4-t

10

，得PM=

3

5

（4-t）．
S_△PQE=

1

2

EQ•PM=

1

2

（5-2t）•

3

5

（4-t）=

3

5

t²-

39

10

t+6，
S_梯形DCBE=

1

2

×（4+8）×3=18，
∴y=18-（

3

5

t²-

39

10

t+6）=-

3

5

t²+

39

10

t+12．

（3）假设存在时刻t，使S_△PQE：S_{五边形PQBCD}=1：29，
则此时S_△PQE=

1

30

S_梯形DCBE，
∴

3

5

t²-

39

10

t+6=

1

30

×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=

9

2

（舍去）．
当t=2时，
PM=

3

5

×（4-2）=

6

5

，ME=

4

5

×（4-2）=

8

5

，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=

8

5

+1=

13

5

，
∴PQ=

PM2+MQ2

=

( 6 5 )2+( 13 5 )2

=

205

5

．
∵

1

2

PQ•h=

3

5

，
∴h=

6

5

•

5

205

=

6 205

205

（或

6

205

）．

点评：本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻t的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解．