Question

（2013•南昌模拟）如图，?ABCD的顶点A，B，C都在⊙O上，AD与⊙O相切于点A，⊙O的半径为4，设∠D=α，∠OBC=β
（1）若β=50°，则α=

70

度．
（2）猜想α与β之间的关系，并说明理由．
（3）若α=60°，请直接写出?ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）设∠ABO=x°，则∠BAO=∠ABO=x°，根据∠BAD+∠ABC=180°即可列方程求得x的值，从而得到α的值；
（2）解法与（1）相同；
（3）根据（2）的结果求得β=30°，易证四边形ABCD是菱形，作OE⊥AB于点E，利用三角函数以及垂径定理即可求得四边形的边长，则面积可以求得．

解答：解：（1）设∠ABO=x°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=x°，∠ABC=β+x=50+x°．
∵AD是圆的切线，
∴∠OAD=90°，则∠BAD=90+x°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，即50+x+（90+x）=180，
解得：x=20，
故∠ABC=50+20=70°，
又∵?ABCD中，α=∠ABC，
∴α=70°．

（2）同（1）设∠ABO=x°，则∠ABC=β+x°，∠BAD=90+x°，
则β+x+（90+x）=180，
即β+2x=90…①，
又∵α=∠ABC=β+x…②，
由①②可得：2α-β=90°；

（3）α=60°，则根据（2）得：β=30°，∠ABO=30°，
则△ABO≌△CBO，
∴AB=BC，则四边形ABCD是菱形．
作OE⊥AB于点E．
在直角△OBE中，BE=OB•cos∠ABO=4×

3

2

=2

3

，
则AB=2BE=4

3

，
∴BC=AB=4

3

，
则S_?ABCD=AB•BC•sin∠ABC=4

3

×4

3

×

3

2

=24

3

．

点评：本题是平行四边形的性质、三角函数以及垂径定理的综合应用，正确求得∠ABO的度数是关键．