题目内容
【题目】如图,四边形ABCD中AB∥CD,对角线AC,BD相交于O,点E,F分别为BD上两点,且BE=DF,∠AEF=∠CFB.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若AC=2OE,试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)已知AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等可得∠ABD=∠CDB,由∠AEF=∠CFB,根据平角的定义可得∠AEB=∠CFD,利用ASA证得△ABE≌△CDF,根据全等三角形的性质可得AB=CD,由AB∥CD,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形;(2)平行四边形AECF是矩形,根据平行四边形的性质可得OB=OD ,OA=OC=AC,由BE=DF证得OE=OF,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定四边形AECF是平行四边形,再证得AC=EF,根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定平行四边形AECF是矩形.
试题解析:
(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,
又∵∠AEF=∠CFB,
∴∠AEB=∠CFD,
又∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AB=CD,
又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2) 平行四边形AECF是矩形,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD ,OA=OC=AC,
∵BE=DF,
∴OB﹣BE=DO﹣DF,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC=2OE,EF=2OE,
∴AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形.
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