题目内容
(2013•贵阳模拟)如图1,已知∠EOF,点B、C在射线OF上,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD相交于点M,连接OM.
(1)当OM⊥AC时,求证:OA=OC.
(2)如图2,当∠EOF=45°时,且四边形ABCD是边长为a的正方形时,求OM的长.(结果保留根号)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201310/20/63a37d16.png)
(1)当OM⊥AC时,求证:OA=OC.
(2)如图2,当∠EOF=45°时,且四边形ABCD是边长为a的正方形时,求OM的长.(结果保留根号)
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201310/20/63a37d16.png)
分析:(1)若要证明OA=OC,则可转化为证明OM是AC的垂直平分线即可;
(2)过M作MG⊥OF于G,首先证明四边形AOBD是平行四边形,得到AD=OB,再利用等腰直角三角形的性质得到BG和MG的长,进而利用勾股定理即可求出OM的长.
(2)过M作MG⊥OF于G,首先证明四边形AOBD是平行四边形,得到AD=OB,再利用等腰直角三角形的性质得到BG和MG的长,进而利用勾股定理即可求出OM的长.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/62/62a69ab2.png)
∴AM=CM,
∵OM⊥AC,
∴OM是AC的垂直平分线,
∴OA=OC;
(2)过M作MG⊥OF于G,
∵四边形ABCD是边长为a的正方形,
∴AD∥BC,∠DBC=45°,
∵∠EOF=45°,
∴∠AOB=∠EOF,
∴AO∥DB,
∴四边形AOBD是平行四边形,
∴AD=OB=a,
∵OG=
a,
∵BC=a,
∴MG=
a,
∴OM=
=
a.
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201311/62/62a69ab2.png)
∴AM=CM,
∵OM⊥AC,
∴OM是AC的垂直平分线,
∴OA=OC;
(2)过M作MG⊥OF于G,
∵四边形ABCD是边长为a的正方形,
∴AD∥BC,∠DBC=45°,
∵∠EOF=45°,
∴∠AOB=∠EOF,
∴AO∥DB,
∴四边形AOBD是平行四边形,
∴AD=OB=a,
∵OG=
3 |
2 |
∵BC=a,
∴MG=
1 |
2 |
∴OM=
MG2+OG2 |
| ||
2 |
点评:本题考查了垂直平分线的性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理的运用,题目的综合性很强,难度中等.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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