题目内容

如图，已知：在直角坐标系中．点E从O点出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．B（4，2），以BE为直径作⊙O₁．

（1）若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G，试判断点G与⊙O₁的位置关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，连接FB，几秒时FB与⊙O₁相切？
（3）若点E提前2秒出发，点F再出发．当点F出发后，点E在A点的左侧时，设BA⊥x轴于点A，连接AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

解：（1）设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t）；
设直线EF的方程为y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，
∴解得 $\text{[math]}$ ，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y= $\text{[math]}$ x；
∵解方程组 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
∴G（ $\text{[math]}$ t， $\text{[math]}$ t）；
∵O₁是BE的中点，
∴O₁（ $\text{[math]}$ ，1），
∴O₁G²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²+（1- $\text{[math]}$ t）²= $\text{[math]}$ t²-2t+5，O₁B²=（4- $\text{[math]}$ ）²+1²= $\text{[math]}$ t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，点G在⊙O₁上．

（2）设t秒时FB与⊙O₁相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5．

（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4- $\text{[math]}$ ，
∴P（4- $\text{[math]}$ ，y）．
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°．
∵PE²+BP²=BE²∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y= $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，
即P（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴AP²=（4- $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²，
∴AP= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，AF= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．
分析：（1）要判断点G与⊙O₁的位置关系，只需比较O₁G与⊙O₁的半径O₁B的大小．设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），用待定系数法求出直线EF和直线OB的解析式，确定点G的坐标，用两点间的距离公式计算出O₁G与O₁B的大小，从而进行判定．
（2）如果t秒时FB与⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值．
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t）；设P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4- $\text{[math]}$ ，即P（4- $\text{[math]}$ ，y）；因为BE为直径，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y与t的关系，可以含t的代数式得出P的坐标，分别计算AP，AF的长，根据结果判断．
点评：本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，解题中要善于抓住不变量，找到等量关系，题目有一定难度，可以考查学生的综合实力．