Question

这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放十六粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
（1）我们知道，国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放多少米？（用幂表示）
（2）请探究第（1）中的数的末位数字是多少？（简要写出探究过程）
（3）求国王输给阿基米德的米粒数．

Answer 1

解：（1）第64个格子，应该底数是2，指数63，所以为263；
（2）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2⁶³的末位数字与23的末位数字相同，是8．
（3）设x=1+2+2²+…+2⁶³ ①．
等式两边同时乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴ ②
②﹣①，得x=2⁶⁴﹣1．
答：国王输给阿基米德的米粒数为2⁶⁴﹣1．