题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形，P点的坐标为（
， 
）；（3）P点的坐标为（
， 
），四边形ABPC面积的最大值为
.
【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；
（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．
试题解析：（1）将B、C两点的坐标代入得
，解得
，
所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）如图，存在点P，使四边形POP′C为菱形．
设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，
若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，
连接PP则PE⊥CO于E，
∴OE=CE=
，
∴y=
，
∴-x2+2x+3=
，
解得x1=
，x2=
（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（
， 
）；
（3）如图1，
，
过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，﹣x2+2x+3）
易得，直线BC的解析式为y=﹣x+3．
则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．
PQ=﹣x2+3x．
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=
ABOC+
QPBF+
QPOF=
×4×3+
（﹣x2+3x）×3=﹣
（x﹣
）2+
，
当x=
时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为（
， 
），四边形ABPC面积的最大值为
．
