Question

如图A、B两点的坐标分别为A（18，0），B（8，6）点P、Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）坐标平面内是否存在点C，使以O、A、C为顶点的三角形与△OAB全等？请直接写出点C的坐标．
（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，求出此时t的值；
（3）是否存在t，使△OPQ为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当△OAC≌△OAB时，C与B关于x轴对称；当△OAC≌△AOB时，点C可能在第一象限，也可能在第四象限，根据全等三角形的面积相等先求出点C的纵坐标，进而求出点C的横坐标；
（2）如果以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，由于∠POQ=∠AOB，那么O与O是对应点，所以分两种情况进行讨论：①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，即可求解；
（3）分三种情况进行讨论：①OP=OQ；②PO=PQ；③QO=QP．

解答：解：（1）坐标平面内存在点C，使以O、A、C为顶点的三角形与△OAB全等．理由如下：
①当△OAC≌△OAB时，C与B关于x轴对称，此时点C的坐标为（8，-6）；
②当△OAC≌△AOB时，点C可能在第一象限，也可能在第四象限，设点C的坐标为（x，y）．
∵△OAC≌△AOB，
∴S_△OAC=S_△AOB，即

1

2

•OA•|y|=

1

2

•OA•6，
∴|y|=6，y=±6．
如果点C在第一象限，如图，过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E，则BD=CE=6，
∵△ACE≌△OBD（HL），
∴AE=OD=8，
∴OE=OA-AE=18-8=10，
∴此时点C的坐标为（10，6）；
如果点C在第四象限，易求此时点C的坐标为（10，-6）；
即满足条件的点C的坐标为（8，-6）或（10，6）或（10，6）；

（2）设从出发起，运动了t秒钟，以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似．
∵AP=3t，OQ=2t，
∴OP=18-3t．
分两种情况：
①如果△POQ∽△AOB，那么

OP

OA

=

OQ

OB

，

18-3t

18

=

2t

10

，
解得t=

30

11

；
②如果△POQ∽△BOA，那么

OP

OB

=

OQ

OA

，

18-3t

10

=

2t

18

，
解得t=

162

37

；
故以O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似时，t的值为

30

11

秒或

162

37

秒；

（3）△OPQ为等腰三角形时，分三种情况：
①如果OP=OQ，那么18-3t=2t，t=

18

5

；
②如果PO=PQ，如图，过点P作PF⊥OQ于F，则OF=FQ=

1

2

OQ=

1

2

•2t=t．
∵在Rt△OPF中，∠OFP=90°，
∴OF=OP•cos∠POF=（18-3t）•

8

10

=

4

5

（18-3t），
∴t=

4

5

（18-3t），
解得t=

72

17

；
③如果QO=QP，如图，过点Q作QG⊥OP于G，则OG=GP=

1

2

OP=

1

2

•（18-3t）=9-

3

2

t．
∵在Rt△OQG中，∠OGQ=90°，
∴OG=OQ•cos∠QOG=2t•

8

10

=

8

5

t，
∴9-

3

2

t=

8

5

t，
解得t=

90

31

．
综上所述，所求t的值为

18

5

秒或

72

17

秒或

90

31

秒．

点评：本题考查全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．