题目内容
(2012•丹徒区模拟)已知(如图)抛物线y=ax2-2ax+3(a<0),交x轴于点A和点B,交y 轴于点C,顶点为D,点E在抛物线上,连接CE、AC,CE∥x轴,且CE:AC=2:
.
(1)直接写出抛物线的对称轴和点A的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)连接AE,点P为线段AE上的一个动点,过点P作PF∥y轴交抛物线于点F,设点P 的横坐标为m,求当m为何值时△AEF的面积最大,最大值为多少?
(4)点C是否在以BD为直径的圆上?请说明理由.
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(1)直接写出抛物线的对称轴和点A的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)连接AE,点P为线段AE上的一个动点,过点P作PF∥y轴交抛物线于点F,设点P 的横坐标为m,求当m为何值时△AEF的面积最大,最大值为多少?
(4)点C是否在以BD为直径的圆上?请说明理由.
分析:(1)根据抛物线对称轴公式求解即可;根据抛物线的对称性求出CE的长度,从而得到AC的长,再求出点C的坐标,然后利用勾股定理列式求出OA的长度,即可得到点A的坐标;
(2)把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出a的值,即可得到抛物线解析式;
(3)根据点C的坐标以及CE的长度求出点E的坐标,利用待定系数法求一次函数解析式得到直线AE的解析式,然后表示出PE的长度,再根据S△AEF=S△APF+S△PEF,列式整理即可得到△AEF的面积与m的函数关系式,然后根据二次函数的最值问题求解;
(4)过点D作DG⊥y轴于G,根据点C、D的坐标可得∠1=45°,再根据抛物线解析式求出点B的坐标,然后求出∠2=45°,从而得到∠BCD=90°,最后根据直径所对的圆周角是直角即可判定点C在以BD为直径的圆上.
(2)把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出a的值,即可得到抛物线解析式;
(3)根据点C的坐标以及CE的长度求出点E的坐标,利用待定系数法求一次函数解析式得到直线AE的解析式,然后表示出PE的长度,再根据S△AEF=S△APF+S△PEF,列式整理即可得到△AEF的面积与m的函数关系式,然后根据二次函数的最值问题求解;
(4)过点D作DG⊥y轴于G,根据点C、D的坐标可得∠1=45°,再根据抛物线解析式求出点B的坐标,然后求出∠2=45°,从而得到∠BCD=90°,最后根据直径所对的圆周角是直角即可判定点C在以BD为直径的圆上.
解答:解:(1)抛物线的对称轴为直线x=-
=1,
∵CE∥x轴,
∴CE=2×1=2,
∵CE:AC=2:
,
∴AC=
,
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标是(0,3),
∴OC=3,
根据勾股定理,OA=
=
=1,
所以,点A的坐标是(-1,0);
(2)把点A坐标代入抛物线y=ax2-2ax+3得,a(-1)2-2a×(-1)+3=0,
解得a=-1,
所以,抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(3)∵C(0,3),CE∥x轴,对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(2,3),
设直线AE解析式为y=kx+b,
则
,
解得
,
所以,直线AE的解析式为y=x+1,
∵点P的横坐标是m,
∴PF=(-m2+2m+3)-(m+1)=-m2+m+2,
∴S△AEF=S△APF+S△PEF,
=
(-m2+m+2)×(m+1)+
(-m2+m+2)×(3-m),
=-2m2+2m+4,
=-2(m-
)2+
,
所以,当m=
时,△AEF的面积最大,最大值为
;
(4)点C在以BD为直径的圆上.
理由如下:点D作DG⊥y轴于G,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D(1,4),
又∵点C(0,3),
∴CG=DG=1,
∴∠1=45°,
令y=0,则-x2+2x+3=0,即x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点B坐标为(3,0),
∴OC=OB=3,
∴∠2=45°,
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°,
∴点C在以BD为直径的圆上.
-2a |
2a |
∵CE∥x轴,
∴CE=2×1=2,
∵CE:AC=2:
10 |
∴AC=
10 |
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标是(0,3),
∴OC=3,
根据勾股定理,OA=
OA2-OC2 |
|
所以,点A的坐标是(-1,0);
(2)把点A坐标代入抛物线y=ax2-2ax+3得,a(-1)2-2a×(-1)+3=0,
解得a=-1,
所以,抛物线解析式为y=-x2+2x+3;
(3)∵C(0,3),CE∥x轴,对称轴为直线x=1,
∴点E的坐标为(2,3),
设直线AE解析式为y=kx+b,
则
|
解得
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所以,直线AE的解析式为y=x+1,
∵点P的横坐标是m,
∴PF=(-m2+2m+3)-(m+1)=-m2+m+2,
∴S△AEF=S△APF+S△PEF,
=
1 |
2 |
1 |
2 |
=-2m2+2m+4,
=-2(m-
1 |
2 |
9 |
2 |
所以,当m=
1 |
2 |
9 |
2 |
(4)点C在以BD为直径的圆上.
理由如下:点D作DG⊥y轴于G,
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D(1,4),
又∵点C(0,3),
∴CG=DG=1,
∴∠1=45°,
令y=0,则-x2+2x+3=0,即x2-2x-3=0,
解得x1=-1,x2=3,
∴点B坐标为(3,0),
∴OC=OB=3,
∴∠2=45°,
∴∠BCD=180°-∠1-∠2=180°-45°-45°=90°,
∴点C在以BD为直径的圆上.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了抛物线的对称轴的求解,待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析,二次函数的最值问题,以及直径所对的圆周角是直角的性质,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
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