Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．

（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC、△BOC、△BCD的面积分别为S1，S2和S3，求证：S3=；

（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；点D的坐标为（1，﹣4）；（2）证明见解析；（3）存在点M使∠AMN=∠ACM．点M的坐标为（，0），直线MN的解析式为y=x﹣．

【解析】试题分析：（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式，然后把解析式配成顶点式得到点D的坐标；

（2）如图，先确定C（0，﹣3），再利用两点间的距离公式计算出BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，然后根据三角形面积公式分别计算出S1，S2和S3，从而得到结论；

（3）设点M的坐标为（m，0）（﹣1＜m＜3），则MA=m+1，AC=，利用MN∥BC得到AM：AB=AN：AC，利用比例性质得AN=（m+1），再证明△AMN∽△ACM，利用相似比得到（m+1）2=（m+1），则解方程可得到m的值，从而得到M点的坐标，然后利用待定系数法求出BC的解析式，最后利用MN∥BC可求出直线MN的解析式．

试题解析：（1）抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3），即y=x2﹣2x﹣3；

∵y=（x﹣1）2﹣4，

∴点D的坐标为（1，﹣4）；

（2）如图，当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则C（0，﹣3），而A（﹣1，0），B（3，0），

∴CD==，BC==3，BD==2，

∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°，

∴S3=CDBC=× ×3 =3，

∵S1=OAOC=×1×3=，S2=OCOB=×3×3=，

∴S3= ；

（3）存在点M使∠AMN=∠ACM．

设点M的坐标为（m，0）（﹣1＜m＜3），则MA=m+1，AC==，

∵MN∥BC，

∴AM：AB=AN：AC，即（m+1）：AN=4： ，解得AN=（m+1），

∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，

∴△AMN∽△ACM，

∴AM：AC=AN：AM，即（m+1）2= （m+1），

解得m1=﹣1（舍去），m2=，

∴点M的坐标为（，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴BC的解析式为y=x﹣3，

又∵MN∥BC，

∴设直线MN的解析式为y=x+n，

把点M的坐标为（，0）代入得n=﹣，

∴直线MN的解析式为y=x﹣．