Question

【题目】如图，将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定角度，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．

（1）求证：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）若正方形ABCO的边长为，∠1=∠2，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP（3）AH=2，AP=

【解析】试题分析：（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG；（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系；（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式,进而可求出AP的长.

试题解析：

（1）由题意得，AO=AD，∠AOG=∠ADG=90°，

∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG.

（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP.

理由如下：

由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，DP=BP，

∵由（1）△AOG≌△ADG，

∴∠1=∠DAG，DG=OG，

又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°，

即∠DAG+∠DAP=45°，

∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，

PG=DG+DP=OG+BP.

（3）∵△AOG≌△ADG，

∴∠AGO=∠AGD，

又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，

∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，

∴∠1=∠2=30°，

在Rt△AOG中，AO=，OG=AOtan30°=+1，AG=2+2，

在Rt△AOG中，CG=2，PG=4，

作PH⊥AG于H，在Rt△PHG中，HG=2，PH=2，在Rt△APH中，AH=2，AP=．