Question

如图所示，抛物线y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在第二象限内抛物线上的一点C，使△OCA∽△OBC，且AC：BC=

3

：1，若直线AC交y轴于P．
（1）当C恰为AP中点时，求抛物线和直线AP的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，⊙M与直线PA和y轴都相切，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点的坐标，利用△OCA∽△OBC，证得△ABC为直角三角形，进一步求得P点坐标，利用待定系数法求得直线解析式；
（2）利用抛物线的对称性，首先抛物线解析式及双切线的性质求得点M横坐标，再进一步利用三角形全等的性质和（1）所求直线解决问题．

解答：解：（1）设y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点，A（x₁，0）、B（x₂，0），
在Rt△APO中，
∵C为AP中点，
∴OC=

1

2

AP=AC=CP，
∵△OCA∽△OBC，
∴

OC

OB

=

OA

OC

=

AC

BC

=

3

．
设AC=

3

k，BC=k，OA?OB=OC2=3k2，
∴OC=

3

k，PC=

3

k，OB=k，OA=3k，AB=2k，OP=

3

k．
在△ABC中，
∵BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，∠CAB=30°．
∵x1+x2=-BO-AO=-(AO+BO)=-

8m

m

=-8，
∴-k-3k=-4k=-8，
∴k=2．
∴A（-6，0），B（-2，0），
∴OP=2

3

，P(0，2

3

)．
设AP直线y=knx+2

3

，A（-6，0）代入得0=-6kn+2

3

，
∴kn=

3

3

，直线AP为y=

3

3

x+2

3

；

（2）如图，
设抛物线的对称轴为M₁M₂，由题意M₁到y轴距离M₁P₁=M₁N₁（N₁为M₁N₁⊥AP的垂足）．
同理M₂P₂=M₂N₂．
∵y=-

3

3

x2-

8 3

3

x-4

3

，
∴-

b

2a

=-4
∴M₁和M₂的横坐标均为-4．
设M₁M₂与AP交于Q点，M₁N₁=M₂N₂=4=M₁P₁=M₂P₂=4，
∵OP=

3

k，AP=2

3

k，
∴∠PAO=30°，∠AQM₂=60°，
将Q点横坐标-4代入直线AP方程：y=

3

3

×(-4)+2

3

=-

4 3

3

+

6 3

3

=

2 3

3

；
∵△M₁QN₁≌△M₂QN₂，
∴M1Q=M2Q=

4

3

×2=

8 3

3

．
∴M₁的纵坐标=

8 3

3

+

2 3

3

=

10 3

3

，
∴M1(-4，

10 3

3

)．
∴M₂点的纵坐标为(

8 3

3

-

2 3

3

)=

6 3

3

=2

3

的相反数-2

3

，
∴M₂（-4，-2

3

）．
综上，抛物线：y=-

3

3

x2-

8 3

3

x-4

3

，直线AP：y=

3

3

x+2

3

，M1(-4，

10 3

3

)，M2(-4，-2

3

)．

点评：此题考查待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质，二次函数的对称性，双切线的性质解决问题．