Question

（2007•安徽）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形．
（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD=90°，求证：△ABR≌△CRD；
（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

Answer 1

【答案】分析：（1）可先证CR⊥BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质，求得∠BCR=∠DCR，进而求得∠BAR=∠DCR，又有AB=CR，AR=BC=CD，可证△ABR≌△CRD；
（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD．又由AB=CD知∠A=∠CDA因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．由PS∥BC及BC=CD知SP=SD．而SP=DR，所以SR=SD=RD故∠CDA=60度．因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°
解答：（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，
∴CR⊥BD．
∵BC=CD，
∴∠BCR=∠DCR．
∵四边形ABCR是平行四边形，
∴∠BCR=∠BAR．
∴∠BAR=∠DCR．
又∵AB=CR，AR=BC=CD，
∴△ABR≌△CRD．

（2）解：由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，
故BC∥AD．
又由AB=CD知∠A=∠CDA，
因为SR∥PQ∥BA，
所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD．
由PS∥BC
∴△DCB∽△DSP，
∵BC=CD，
∴SP=SD．而SP=DR，
所以SR=SD=RD，
故∠CDA=60°．
因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．
（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可．）
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．