题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=﹣
x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B'，当△OCB'为等边三角形时，求BQ的长度；
（3）若点D在线段BO上，OD=2DB，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．
【答案】（1）二次函数的表达式为y=﹣
x2+2x；（2）BQ=
；（3）点E的坐标为：（
，0）或（，
）或（2+
，2﹣）或（4，0）．
【解析】
试题（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明∠ABO=90°，由对称计算∠QCB=60°，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；
（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：
i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，
当F在边OA上时，分三种情况：
①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，则E、F在OA上，②如图3，作辅助线，构建△OFD≌△EDF≌△FGE，③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E；当点F在OB上时，过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，依次求出点E的坐标即可．
试题解析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：﹣
×42+4b=0，解得b=2，
∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x．
（2）∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，
∴B（2，2），抛物线的对称轴为x=2．
如图1所示：
由两点间的距离公式得：OB=
=2
，BA=
=2．
∵C是OB的中点，
∴OC=BC=．
∵△OB′C为等边三角形，
∴∠OCB′=60°．
又∵点B与点B′关于CQ对称，
∴∠B′CQ=∠BCQ=60°．
∵OA=4，OB=2，AB=2，
∴OB2+AB2=OA2，
∴∠OBA=90°．
在Rt△CBQ中，∠CBQ=90°，∠BCQ=60°，BC=，
∴tan60°=
，
∴BQ=
CB=×=
．
（3）分两种情况：
i）当F在边OA上时，
①如图2，过D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵△DOF≌△DEF，且E在线段OA上，
∴OF=FE，
由（2）得：OB=2，
∵点D在线段BO上，OD=2DB，
∴OD=
OB=
，
∵∠BOA=45°，
∴cos45°=
，
∴OF=ODcos45°=
=
，
则OE=2OF=
，
∴点E的坐标为（，0）；
②如图3，过D作DF⊥x轴于F，过D作DE∥x轴，交AB于E，连接EF，过E作EG⊥x轴于G，
∴△BDE∽△BOA，
∴
=
，
∵OA=4，
∴DE=，
∵DE∥OA，
∴∠OFD=∠FDE=90°，
∵DE=OF=，DF=DF，
∴△OFD≌△EDF，
同理可得：△EDF≌△FGE，
∴△OFD≌△EDF≌△FGE，
∴OG=OF+FG=OF+DE=+=，EG=DF=ODsin45°=，
∴E的坐标为（，）；
③如图4，将△DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，
过B作BM⊥x轴于M，过E作EN⊥BM于N，
由翻折的性质得：△DOF≌△DEF，
∴OD=DE=，
∵BD=OD=
，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE=
=
，
则BN=NE=BEcos45°=×
=
，
OM+NE=2+，BM﹣BN=2﹣，
∴点E的坐标为：（2+，2﹣）；
ii）当点F在AB上时，
过D作DF∥x轴，交AB于F，连接OF与DA，
∵DF∥x轴，
∴△BDF∽△BOA，
∴
，
由抛物线的对称性得：OB=BA，
∴BD=BF，
则∠BDF=∠BFD，∠ODF=∠AFD，
∴OD=OB﹣BD=BA﹣BF=AF，
则△DOF≌△DAF，
∴E和A重合，则点E的坐标为（4，0）；
综上所述，点E的坐标为：（，0）或（，）或（2+，2﹣）或（4，0）．
