题目内容

【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A,顶点为P,且对称轴为直线x=2.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)连接PB、PC,求PBC的面积;

(3)连接AC,在x轴上是否存在一点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)3;(3)存在两点Q1(0,0),Q2,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与ABC相似.

【解析】

试题分析:(1)根据二次函数的对称性,已知对称轴的解析式以及B点的坐标,即可求出A的坐标,利用抛物线过A、B、C三点,可用待定系数法来求函数的解析式

(2)首先利用各点坐标得出得出PBC是直角三角形,进而得出答案;

(3)本题要先根据抛物线的解析式求出顶点P的坐标,然后求出BP的长,进而分情况进行讨论:

①当PBQ=ABC=45°时,根据A、B的坐标可求出AB的长,根据B、C的坐标可求出BC的长,已经求出了PB的长度,那么可根据比例关系式得出BQ的长,即可得出Q的坐标.

②当QBP=ABC=45°时,可参照①的方法求出Q的坐标.

③当Q在B点右侧,即可得出PBQ≠∠BAC,因此此种情况是不成立的,综上所述即可得出符合条件的Q的坐标.

试题解析:(1)直线y=﹣x+3与x轴相交于点B,当y=0时,x=3,点B的坐标为(3,0),y=﹣x+3过点C,易知C(0,3),c=3.

抛物线过x轴上的A,B两点,且对称轴为x=2,根据抛物线的对称性,点A的坐标为(1,0).

抛物线过点A(1,0),B(3,0),解得:该抛物线的解析式为:

(2)如图1,=,又B(3,0),C(0,3),PC===,PB==BC===,又=2+18=20,=20,∴△PBC是直角三角形,PBC=90°,S△PBC=PBBC==3;

(3)如图2,由=,得P(2,﹣1),设抛物线的对称轴交x轴于点M,在RtPBM中,PM=MB=1,∴∠PBM=45°,PB=

由点B(3,0),C(0,3)易得OB=OC=3,在等腰直角三角形OBC中,ABC=45°,由勾股定理,得BC=

假设在x轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与ABC相似.

①当PBQ=ABC=45°时,PBQ∽△ABC.

,解得:BQ=3,又BO=3,点Q与点O重合,Q1的坐标是(0,0).

②当QBP=ABC=45°时,QBP∽△ABC.

,解得:QB=

OB=3,OQ=OB﹣QB=3﹣=Q2的坐标是(,0).

③当Q在B点右侧,则PBQ=180°﹣45°=135°,BAC135°,故PBQ≠∠BAC.

则点Q不可能在B点右侧的x轴上

综上所述,在x轴上存在两点Q1(0,0),Q2,0),能使得以点P,B,Q为顶点的三角形与ABC相似.

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