Question

（2009•湖州）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：建立如图坐标系，水平为x轴，竖直为y轴，设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，要使得点最多，取整数点（0，1），（1，1），（2，2）代入抛物线的解析式，求出a、b、c的值，再把各整数格点代入求解即可．
解答：解：由题意，建立如图坐标系，水平为x轴，竖直为y轴，
设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，
要使得格点最多，抛物线如图所示：
取整数点D（0，1），E（1，1），F（2，2）代入抛物线的解析式得，
1=a×0²+0×b+c，
1=a×1²+1×b+c，
2=a×2²+2b+c，
解得a=，b=，c=1，
故y=x²-x+1，
∴A（-3，7）；B（-2，4）；C（-1，2）；D（0，1）；E（1，1）
F（3，4）；G（3，4）；H（4，7）共8个．
建立坐标系的方法：设方格左下角为（0，0），沿着方格的边沿建立直角坐标系．
取抛物线为y=（x-3）（x-4），
则它能经过8个格点：（0，6），（1，3），（2，1），（3，0），（4，0），（5，1），（6，3），（7，6）．
对于任意的二次函数，如果我们依次考察x=0，1，2，…，8时的值，并依次用后一个值减去前一个值，总得到一个等差数列．要使经过的格点尽量多，则这个等差数列的公差要尽量小，且为整数． 因此，令公差为1，这相当于取二次项系数为．
验证：如果抛物线经过9个格点，那么在抛物线的顶点及一侧至少经过5个格点，由于这5个格点的横坐标都差1，考虑到抛物线的递增或递减趋势，这5点的纵坐标的极差不小于1+2+3+4=10，显然这5个格点不全在8×8网格之内．
故选C．
点评：此题是一道新颖题，定义了一个格点的概念，思路比较开放，要建立合适的坐标系来找最多格点，考查了抛物线的基本性质．