Question

按图所示的流程图，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
①新数据都在60～100（含60和100）之间；
②新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据较大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系式是y=x+p（100-x），请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求。
（2）若按关系式y=a（x-h）²+k（a>0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）。

Answer 1

解：（1）当P=时，y=x+（100-x），即y=x+50
所以，y随着x的增大而增大，即p=时，满足条件②
当x=20时，y=60，当x=l00时，y=×100+50=100
而原数据都在20～100（含20和100）之间，所以新数据都在60～100（含60和100）之间，即满足条件①
综上可知，当p=时，这种变换满足要求；
（2）若所给出的关系式满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60～100（含60和100）之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20，y=a（x-20）²+k
∵a>0
∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大
令x=20，y=60，得k=60  ①
令x=100，y=100，得a×80²+k=100  ②
由上面两个式子解得
所以，y=（x-20）²+60（答案不唯一）。