Question

22、探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC²-BC²=AP²-BP²；
（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ACP和Rt△BPC中利用勾股定理表示CP整理就可以得到；
（2）根据AC⊥BD，分别利用勾股定理表示出AB，BC，CD，DA，再根据AP、PC、PB、PD就可以得出数量关系；
（3）构造直角三角利用勾股定理表示AP，BP，CP，DP结合（2）的经验，就可以得到它们的关系．

解答：解：（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC²=AC²-AP²
在Rt△BCP中，PC²=BC²-BP²
∴AC²-BC²=AP²-BP²

（2）解：∵AB²=AP²+PB²，BC²=BP²+CP²，CD²=CP²+DP²，AD²=DP²+AP²
∴AB²+CD²=AD²+BC²

（3）解：PA²+PC²=PB²+PD²
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于E，F，过P作MN∥AB交AD，BC于M，N
则PA²=AM²+PM²，PB²=BN²+PN²，PC²=PN²+NC²，PD²=MD²+PM²
∵AM=BN，MD=NC，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．

点评：主要考查勾股定理的运用，多次运用勾股定理，再根据相等线段得到所需数量关系．