题目内容

如图（1），直线y=k₁x+b与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k₁、k₂的值；
（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小关系，并说明理由；
（3）如图（2），已知点Q是CD的中点．在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，当∠PCD=90°时，求P点坐标及 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵A（1，6），B（a，3）在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k₂=1×6=3a，
∴k₂=6，a=2，
∴B（2，3）．
将A（1，6），B（2，3）代入直线y=k₁x+b，
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
则直线的解析式为y=-3x+9．
故所求k₁=-3，k₂=6；

（2）当S_梯形OBCD=12时，FC=FE．理由如下：
如图（1），设点F的坐标为（m，n）．

∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），
∴C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，
∴S_梯形OBCD= $\text{[math]}$ ×CE，即12= $\text{[math]}$ ×3，
∴m=4，
又∵mn=6，
∴n= $\text{[math]}$ ，即FE= $\text{[math]}$ CE，
∴FC=FE；

（3）如图（2），当∠PCD=90°时，∠PCE+∠DCE=90°，
∵CE⊥OD于点E，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCE=∠CDE，
又∵∠CEP=∠DEC=90°，
∴△CEP∽△DEC，
∴CE：DE=EP：EC，
∴DE•EP=CE²，
∴2EP=9，
∴EP= $\text{[math]}$ ，
∵E点坐标为（4，0），
∴P点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）．
∵点Q是CD的中点，C（4，3），D（6，0），
∴Q（5， $\text{[math]}$ ），
又∵DE=2，
∴三角形DEQ的面积= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
又∵三角形PCD的面积= $\text{[math]}$ ×PD×CE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×3= $\text{[math]}$ ，
∴四边形PCQE的面积=三角形PCD的面积-三角形DEQ的面积= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故所求P点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先将A点坐标代入反比例函数的解析式，求出k₂的值，得到点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入直线y=k₁x+b，解方程组即可求出k₁的值；
（2）设点F的坐标为（m，n），则C（m，3），CE=3，BC=m-2，OD=m+2，利用梯形OBCD的面积是12列出方程，求得m的值，从而求得点F的坐标，即可得出FC=FE；
（3）先证明△CEP∽△DEC，根据相似三角形对应边成比例求出P点坐标；再由点Q是CD的中点，根据中点坐标公式得出点Q的坐标，然后由三角形的面积公式分别计算出三角形DEQ的面积和三角形PCD的面积，则四边形PCQE的面积=三角形PCD的面积-三角形DEQ的面积，进而求出 $\text{[math]}$ 的值．
点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，难度中等，综合性较强，注意反比例函数图象上点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键．