题目内容

如图，A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，3），动点P从O点出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，动点Q从B点出发以每秒一个单位的速度向O点运动，点P、Q分别从O、B同时出发，当Q运动到原点O时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）设△POQ的面积为s，求s与t的函数关系式；
（2）当线段PQ与AB相交于点E，且 $数学公式$ 时，求∠QPO的正切值；
（3）当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．

解：（1）∵OP=2t，BQ=t，
∴OQ=3-t，
∴S= $\text{[math]}$ •2t（3-t）=t（3-t）（0≤t≤3）；

（2）如图所示：作QG∥AB，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OG=4- $\text{[math]}$ t，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ，
∴tan∠QPO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）∵∠AOB=∠POQ，
∴当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，两三角形相似，即
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ 时，以O、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似．
分析：（1）根据题意，用t表示OP，OQ的长，用三角形的面积公式表示s，结合图形写出t的范围；
（2）根据已知比例，构造平行线，作QG∥AB，利用平行线分线段成比例定理求OG，再用比例代换的方法求t，在直角△OPQ中求∠QPO的正切值；
（3）由于∠AOB=∠POQ，那么两个三角形相似，有两种对应关系：△PQO∽△ABO，△QPO∽△ABO，按照对应边的比相等，分别求解．
点评：本题考查了面积的求法，利用平行构造相似比、相似三角形及其比例，根据题意寻找相似三角形的条件，本题还运用了分类讨论的思想，具有较强的综合性．