Question

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）在图中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹），判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半径长．

Answer 1

解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：
作图如图所示，连接OD，
∵AD为角平分线，∴∠OAD=∠CAD，
又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴直线BC与⊙O相切；

（2）在Rt△ABC中，∵AC=3，tanB=，
∴=，解得BC=4，由勾股定理，得AB==5，
设OA=OD=R，则OB=5-R，
∵∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC，
∴=，即=，
解得R=，∴⊙O的半径为．
分析：（1）作线段AD的垂直平分线，交AB于O点，以O为圆心，OA为半径画圆即可．连接OD，由AD为角平分线可知∠OAD=∠CAD，由OA=OD可知∠OAD=∠ODA，得出内错角相等，判断OD∥AC即可；
（2）在Rt△ABC中，由AC=3，tanB=，得BC=4，利用勾股定理得AB=5，设OA=OD=R，则OB=5-R，由△OBD∽△ABC，利用相似比求R的值．
点评：本题考查了圆的作图，圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形是知识．关键是明确圆的有关性质，将圆的问题转化为三角形的问题进行解答．