题目内容

如图，已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象在第一象限的交点为A（2，4）．
（1）求正比例函数与反比例函数的解析式；
（2）平移直线OA，平移后的直线与x轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限的交点为C（4，n）．求B、C两点的距离．

解：（1）设正比例函数的解析式为y=k₁x，
反比例函数的解析式为 $\text{[math]}$
根据题意得：4=k₁×2， $\text{[math]}$
解得：k₁=2，k₂=8
所以，正比例函数的解析式为y=2x，
反比例函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（2）因为点C（4，n）在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上
所以， $\text{[math]}$ ，
即点C的坐标为（4，2）
因为AO∥BC，所以可设直线BC的表达式为y=2x+b
又点C的坐标为（4，2）在直线BC上
所以，2=2×4+b，
解得b=-6，
即直线BC的表达式为y=2x-6
直线BC与x轴交于点B，设点B的坐标为（m，0）
可以得：0=2m-6，
解得m=3，
所以点B的坐标为（3，0）
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）分别设出一次函数解析式和反比例函数的解析式，代入点A的坐标，即可得出各解析式．
（2）利用已知的反比例函数的解析式，可得出n的值；设平移后的一次函数解析式，代入点C的坐标，即可得出平移后的函数式，练力量两函数式，求解方程组，即可得出点B的坐标，利用两点间的距离公式，即可得出B、C的距离．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数 $\text{[math]}$ 中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．