题目内容

在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x²+mx+2- $数学公式$ m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

解：∵b、c是关于x的方程x²+mx+2- $\text{[math]}$ m=0的两个实数根，
∴b+c=-m，bc=2- $\text{[math]}$ m，
当a为其腰时，则b=a，或c=a，
∴方程必有一个根为3，
代入方程得：9+3m+2- $\text{[math]}$ m=0，
解得m=- $\text{[math]}$ ，
则b+c=-m= $\text{[math]}$ ，
则周长是a+b+c=3+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当a为其底时，b=c，原方程有两个相等的实数根，
∴△=m²-4（2- $\text{[math]}$ m）=0，
∴m₁=-4，m₂=2＞0（舍去），
∵b+c=-m=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合题意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周长为 $\text{[math]}$ 或7．
分析：等腰三角形ABC中a可能是底边，也可能是腰，应分两种情况进行讨论，
①当a是腰时，则方程有一个根是3，代入即可求得m的值，从而求解；
②当a是底边时，方程有两个相等的根，根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，从而求得其周长．
点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系，三角形的三边关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ；
（5）x₁•x₂= $\text{[math]}$ ．
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．