Question

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与直线AB：y=x+b交于点E（2，n）．
（1）m=______，点B的纵坐标为______；（用含n的代数式表示）；
（2）若△BDE的面积为2，设直线AB与y轴交于点F，问：在射线FD上，是否存在异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，现有一动点M，从O点出发，沿x轴的正方向，以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t（s），问：是否存在这样的t，使得在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC=45°？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点E（2，n）和点D（4，m）在反比例函数的图象上，
∴k=2n，k=4m，
∴4m=2n，
∴m=n，
∵点E（2，n）在直线y=x+b上，
∴点E的坐标是（2，1+b），
∴1+b=n，
∴b=n-1，
∵点B的横坐标是4，点B在直线y=x+b上，
∴点B的坐标是（4，2+b），
∴点B的纵坐标是2+n-1=n+1；
故答案为：n；n+1．
（2）

∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），
∵△BDE的面积为2，
∴×（n+1）×2=2，
解得n=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，A（-2，0）、F（0，1）．
∴B（4，3），D（4，1），C（4，0），
∴FD∥AC，
∵在射线FD上，异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，只可能为△BFP∽△CAB，
∴=，=，
解得FP=5，
从而可得P（5，1）．
（3）以MC为斜边，作等腰直角△QMC，则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q，与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°，
由题意知，在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC=45°，
∴⊙Q恰好与AB相切，
∴点Q到AB的距离d=QM=MC，
①
当运动时间为t（s）时，则M（2t，0），
当点M在C点左侧时，则MC=4-2t，
由S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC可得：
×3×（4-2t）+×6×+×3×=×6×3．
解得t=20-6，
②
当M在C点右侧时，则MC=2t-4，利用S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，
同理可得t=．
分析：（1）根据点E（2，n）和点D（4，m）在反比例函数的图象上，得出k=2n，k=4m，即可求出m的值；
根据点E（2，n）在直线y=x+b上，得出点E的坐标是（2，1+b），b=n-1，再根据点B的横坐标是4，点B在直线y=x+b上，得出点B的坐标是（4，2+b），纵坐标是2+n-1，再进行整理即可；
（2）根据（1）中E（2，n），D（4，n），B（4，n+1）和S_△BDE=2，求出n的值，再根据直线AB的解析式，求出点A、B、D、C和F的坐标，从而得出FD∥AC，最后根据射线FD上，异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，只可能为△BFP∽△CAB，得出=，求出FP的值，得出点P的坐标．
（3）以MC为斜边，作等腰直角△QMC，则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q，与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC=45°，则⊙Q恰好与AB相切，得出点Q到AB的距离d=QM=MC，再分两种情况讨论①当点M在C点左侧时，S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC，②当M在C点右侧时，S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，然后代入计算即可．
点评：此题考查了反比例函数的综合应用，关键是根据题意画出图形，要注意分两种情况进行讨论，用到的知识点是圆的有关性质、切线的性质、圆周角定理．